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含能量守恒方程的可压缩流体力学数学理论的研究

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作者:
边东芬
导师:
郭柏灵
学科专业:
基础数学 
文献出处:
中国工程物理研究院 2014年
关键词:
局部化论文  型空间论文  适定性论文  爆破论文  方程组论文  模型论文  电磁流体方程组论文  方程组论文  磁流体方程组论文  对流论文  长时间行为论文  

摘要:现代流体力学中的偏微分方程,如Navier-Stokes方程、磁流体(MHD)方程组、电磁流体方程、Rayleigh-Benard对流、k-ε湍流模型方程以及Navier-Stokes-Korteweg方程等等,作为刻画物质运动的宏观模型,是一类重要的非线性偏微分方程.这些流体动力学方程组是描述很多重要物理现象的数学模型.特别是,一直占据数学物理界重要研究领域的Navier-Stokes方程是一个具有代表性的数学模型,对其定解问题的研究一直是国内外数学物理界非常关注的热点课题之一本文从五个方面研究含能量守恒方程的可压缩流体力学方程组解的性质:证明了RN(N=2,3)空间中具有剪切自由边界的大初值非等熵可压缩Navier-Stokes方程组球对称强解的整体存在唯一性.主要困难是剪切自由边界带来的ux的L∞L2模估计.我们首先利用uxx的L∞L2模来表示θx的L∞L2模,联合温度θ的H2模估计,最后可证得速度u的一阶导和二阶导估计.见主要成果12.二、研究了煤矿瓦斯多次爆炸的κ-ε湍流模型方程组的Cauchy问题.我们主要利用标准的能量方法和一些技巧性估计来证明三维κ-ε湍流模型方程组小初值整体光滑解的存在唯一性.另外,我们还研究了该小初值整体光滑解的长时间行为,得到了如下的最优衰减率:其中σ(p,q;t)定义为见主要成果2和5.三、研究了三维等熵可压缩Navier-Stokes-Korteweg方程组的毛细管系数消失极限问题.我们得到了当κ→00时,该方程组的唯一光滑解收敛到三维Navier-Stokes方程组的强解.主要方法是先建立关于毛细管系数κ的一致估计,然后利用Lions-Aubin引理,令κ趋于零,得到了相应的极限结论.而且,我们还得到了对于任意正的时间t解的收敛估计其中C是一个不依赖于κ和t的正常数.见主要成果1.四、我们致力于研究RN(N≥2)空间中非等熵可压缩磁流体(CMHD)方程组在临界Besov空间中的局部适定性.思路是利用Terence Tao的抽象bootstrap原理证明可压缩磁流体方程组解的存在性.通过Littlewood-Paley理论、插值不等式、Young不等式、Bernstein不等式、交换子估计、乘积估计、Gronwall引理等工具,我们得到了对于足够小的T>0,解序列(an,Hn,un,θn)n∈N在空间中有一致的上界,根据紧性原理得到解序列的收敛性.最后利用Osgood引理证明解的唯一性.见主要成果4.五、Rayleigh-Benard对流方程组是一个具有很强实际意义的研究流体对流运动的典型数学模型,我们建立了具有能量守恒方程的可压缩Rayleigh-Benard对流的局部适定性.再者,我们研究了有界域Ω(?)RN(N=2,3)中等熵电磁流体方程组弱解的整体存在性和长时间行为.最后,我们考虑RN(2≤N≤3)空间中等熵磁流体方程组的径向对称光滑解的爆破.见主要成果7,6和3.

摘要

ABSTRACT

第一章 绪言

1.1 具有剪切自由边界的完全可压缩Navier-Stokes系统强解的整体适定性

1.2 瓦斯爆炸的κ-ε湍流模型系统的整体适定性和最优衰减率

1.3 可压缩Navier-Stokes-Korteweg系统毛细管消失极限问题

1.4 完全可压缩MHD系统在临界空间中的局部适定性

1.5 可压缩Rayleigh-Benard对流系统的局部适定性

1.6 可压缩电磁流体系统的整体存在性和长时间行为

1.7 等熵可压缩MHD系统解的爆破

第二章 具有剪切自由边界的完全可压缩Navier-Stokes系统强解的整体适定性

2.1 引言

2.2 先验估计

2.3 主要结论的证明

第三章 瓦斯爆炸的κ-ε湍流模型系统的整体适定性和最优衰减率

3.1 引言

3.2 命题3.2.1的建立及其证明

3.3 局部存在定理及其定理3.1.1的证明

3.4 最优衰减率及其定理3.1.2的证明

第四章 可压缩Navier-Stokes-Korteweg系统毛细管消失极限问题

4.1 前言

4.2 原始问题的等价转化

4.3 先验估计

4.4 主要定理的证明

第五章 完全可压缩MHD系统在临界空间中的局部适定性

5.1 引言

5.2 预备知识和一些重要的引理

5.3 一些重要的命题

5.4 主要定理的证明

第六章 可压缩R-yleigh-Benard对流、电磁流体和等熵MHD系统解的适定性问题

6.1 可压缩Rayleigh-Benard对流系统的局部适定性

6.2 可压缩电磁流体系统的整体存在性和长时间行为

6.3 等熵可压缩MHD系统解的爆破

参考文献

攻读博士学位期间的主要论文

致谢