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中心间断伽辽金方法的发展及其应用

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作者:
董海云
导师:
徐立伟
学科专业:
计算数学 
文献出处:
重庆大学 2016年
关键词:
中心间断伽辽金方法论文  非结构重叠网格论文  守恒律论文  磁流体力学方程论文  模型论文  

摘要:中心间断伽辽金方法是一类求解守恒律的有限元方法,由于在重叠网格上计算两组近似解,其不像间断伽辽金方法一样依赖于单元边界上的精确黎曼解或近似黎曼解,因此被广泛应用于各类问题的求解。论文主要由两部分构成。第一部分是非结构重叠网格上中心间断伽辽金方法的建立及其在各种守恒律方程中的应用。第二部分是着重于设计和分析高效的中心间断伽辽金方法并用来求解各种守恒律方程。已有的求解守恒律方程的中心间断伽辽金方法是定义在结构网格上的。因此,只能用来求解一些简单区域上的问题,例如,矩形区域,L形区域等等。为了把这种方法应用于更复杂的区域,我们设计了一种定义在非结构重叠网格上的高阶中心间断伽辽金方法,并用来求解二维守恒律方程。为了形成非结构重叠网格,首先对计算区域进行三角形剖分得到第一重网格,然后我们取每一个三角形的一个内点,连接这个内点和三角形的三个顶点,形成四边形网格,这个四边形网格就是对偶网格。我们证明了建立在非结构重叠网格上的中心间断伽辽金法求解线性方程的稳定性。接着我们用非结构重叠网格上的中心间断伽辽金方法求解了理想的磁流体力学方程,并且对其设计了局部散度为零的中心间断伽辽金方法。我们给出了一系列算例来演示所提出的方法的高阶精度和有效性。由于中心间断伽辽金方法定义在在重叠网格上,计算两套数值解,因此,中心间断伽辽金方法不需要像间断伽辽金方法一样在单元边界上计算数值通量。但是,因为要计算两套数值解,这也使得中心间断伽辽金方法的计算量大大增加。因此,我们提出了一个重构的中心间断伽辽金方法来求解守恒律方程。在这个格式中,我们把定义在第一重网格上的数值解投影到对偶网格上的近似空间得到了一个重构的近似解。我们用这个重构的近似解来代替中心间断伽辽金方法中定义在对偶网格上的数值解。这个重构的中心间断伽辽金方法相对于中心间断伽辽金方法来说更加简单和易于实现。我们也研究了重构的中心间断伽辽金方法求解线性双曲方程时的稳定性和误差估计。接着,我们把这个方法应用到了完全非线性弱色散Green-Naghdi模型。我们构造了一个高阶的重构的中心间断伽辽金-有限元方法来求解Green-Naghdi模型。我们的方法减少了传统方法大约一半的工作量而仍能够保持高阶精度。数值实验也验证了所给方法的精度和计算效率。

中文摘要

英文摘要

1 绪论

1.1 引言

1.2 中心间断伽辽金方法的研究现状及进展

1.3 理想的磁流体力学方程的研究现状及发展

1.4 Green-Naghdi模型的研究现状及进展

1.5 本文的主要工作

2 非结构重叠网格中心间断伽辽金方法

2.1 引言

2.2 非结构重叠网格上的中心间断伽辽金方法

2.2.1 非结构重叠网格

2.2.2 中心间断伽辽金方法求解守恒律方程

2.2.3 高阶时间离散

2.2.4 线性双曲方程的2L稳定性

2.3 数值实验

2.3.1 线性方程

2.3.2 二维Burgers方程

2.3.3 欧拉方程

2.4 本章小结

3 非结构重叠网格中心间断伽辽金方法求解磁流体力学方程

3.1 引言

3.2 MHD方程

3.3 数值方法

3.3.1 网格和离散空间

3.3.2 MHD方程的中心间断伽辽金方法

3.3.3 MHD方程的局部散度为零的中心间断伽辽金方法

3.3.4 高阶时间离散和非线性限制器

3.4 数值算例

3.5 本章小结

4 重构的中心间断伽辽金方法

4.1 引言

4.2 数值方法

4.2.1 一维守恒律方程的重构的中心间断伽辽金法

4.2.2 二维守恒律方程的重构的中心间断伽辽金法

4.2.3 高阶时间离散和非线性限制器

4.3 线性方程的重构的中心间断伽辽金法的理论分析

4.3.1 L~2稳定性

4.3.2 L~2误差估计

4.4 数值算例

4.4.1 一维算例

4.4.2 二维算例

4.5 本章小结

5 重构的中心间断伽辽金-有限元耦合方法求解Green-Naghdi模型

5.1 引言

5.2 数学模型

5.3 数值格式

5.3.1 中心间断伽辽金-有限元方法

5.3.2 重构的中心间断伽辽金-有限元方法

5.3.3 高阶时间离散

5.4 数值实验

5.4.1 精度测试

5.4.2 孤立波的的长期传播

5.4.3 两个孤立波的迎面碰撞

5.4.4 两个孤立波的追赶碰撞

5.5 本章小结

6 总结与展望

6.1 总结

6.2 展望

致谢

参考文献

附录

A. 作者在攻读学位期间发表的论文目录

B. 已提交或在准备中的论文

C. 作者在攻读学位期间参加科研项目情况