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角形域上Neumann边值问题小波自然边界元法研究

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作者:
李裕莲
导师:
陈鸣
学科专业:
计算数学 
文献出处:
燕山大学 2012年
关键词:
自然边界元方法论文  保角映射论文  小波基函数论文  方法论文  调和方程论文  刚度矩阵论文  

摘要:小波自然边界元法是近几年发展起来的一种新型用于求解偏微分方程的数值计算方法。目前关于它的研究结果还相对较少,但这种方法从一开始就展现了它独特的优点和强劲的生命力。论文主要是研究小波基函数在自然边界元方法中,应用于求角形区域上调和方程Neumann边值问题的数值解。目的是解决自然边界元方法中,计算奇异积分时存在的困难,从而减小计算量,提高计算精度。其基本思想是首先引入保角映射得到角形区域上的自然积分方程,将微分方程经过自然边界归化得到与之等价的变分问题,再利用Galerkin-wavelet方法或小波插值法将其离散,得到具有独特优点的刚度矩阵,这样就能大大减小计算量。同时对数值解的误差估计作了进一步的分析。给出的算例表明了各种小波自然边界元方法的可行性和有效性。首先,综述了边界元方法的发展历史、研究现状,然后对边界归化方法、小波分析及保角映射的基本理论进行了概述,并分析了该课题的研究意义。同时介绍了调和方程在典型域上通过自然边界归化所得的自然边界积分方程和Poisson积分公式,以及一般单连通区域上的自然边界归化及其对角形域,扇形域与矩形域的应用。其次,论文针对角形域上调和方程的Neumann边值问题在求解过程中遇到的强奇异积分的困难,论文充分利用Shannon小波在频域上有限带宽的优良性质,采用Shannon小波边界元方法求解,使问题简化且得到的数值解比较精确。同时论文又充分利用了拟小波基在时域中光滑性高、快速衰减且具有插值性的特点,使其与自然边界元方法相结合,再引入了保角映射,有效解决了角形域上调和方程边值问题时存在的奇异积分困难。最后,论文采用Hermite三次样条多小波边界元方法对角形域上调和方程的Neumann边值问题做了进一步的探讨,并通过算例验证了该方法的有效性。

摘要

Abstract

第1章 绪论

1.1 边界元法的历史回顾和发展现状

1.1.1 边界元方法介绍

1.1.2 边界归化方法

1.2 小波分析理论概述

1.2.1 小波分析的历史回顾

1.2.2 小波定义

1.2.3 小波分析的应用

1.3 保角映射

1.4 课题来源及研究意义

1.5 论文的主要研究内容

第2章 理论基础

2.1 典型区域上的自然边界归化

2.2 一般单连通区域上的自然边界归化

2.2.1 保角映射与自然边界归化

2.2.2 对角形域、扇形域与矩形域的应用

2.3 本章小结

第3章 角形域上 Shannon 小波自然边界元方法

3.1 自然边界归化

3.2 Shannon 小波

3.3 数值离散

3.4 基本误差估计与收敛性分析

3.5 数值算例

3.6 本章小结

第4章 拟小波自然边界元方法求解角形域边值问题

4.1 拟小波方法的基本原理

4.2 拟小波自然边界元解法

4.2.1 Neumann 边值问题

4.2.2 Dirichlet 边值问题

4.2.3 混合边值问题

4.3 收敛性及误差估计

4.4 数值算例

4.5 本章小结

第5章 角形域上 Hermite 三次样条多小波自然边界元法

5.1 自然边界归化

5.2 Hermite 三次样条多小波

5.3 Galerkin-wavelet 方法

5.4 数值算例

5.5 本章小结

结论

参考文献

攻读硕士学位期间承担的科研任务与主要成果

致谢

作者简介